三角関数の定義と特徴

皆さんこんにちは。

本日は高校数学における三角関数について知ってもらおうかなと思います。

まだ学習していない方に向けてこの記事を書いていきますが、もうすでに学習をした方でも復習出来るようにまとめていきたいと思うので是非見ていってください！

定義

まず始めに三角関数の定義について触れていこうかなと思います。

三角関数は半径が1の単位円の点P(x,y)を用いて、角度θにおけるx座標をcosθ、y座標をsinθ、傾きをtanθとして定義されます。

つまり、円を用いて角度を実数に対応させる関数であるということです。

主に、周期的な波の関数（波動関数）や角度と距離の関係を扱うために定義がされています。

半径ｒの任意の点Ｐ（ｘ,ｙ）、角度をθとすると、sinθ＝y/r、cosθ＝x/r、tanθ=y/xと表されます。

また、sinは正弦、cosは余弦、tanは正接と呼ばれることもあります。

sinは単位円上の点Pのy座標と半径によって表されます。図形の問題として出題される場合、正弦定理というものも登場してきます。

正弦定理とは三角形の正弦と辺の長さの間に成り立つ関係式 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ のことで外接円の半径や角度、辺の長さを求める際に利用されます。

これは数学の基本公式ですね。

また、工業科の方は交流波形で見ることもあります。正弦波と呼ばれる波を観察することになりますが、その際に波のズレや振動に関係してきます。

cosは単位円上の点Pのx座標と半径によって表されます。sinと同様に図形の問題で余弦定理というものがあります。

余弦定理とは、△ＡＢＣのそれぞれの角度を∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃとし、それぞれの辺の長さをa,b,cとすると以下の3つの式が成り立つ。 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

これらも正弦定理と同様に高校数学において基本となる公式ですね。

tanは単位円上の点Pのx座標とy座標によって表されます。傾きと一致するのも特徴の1つですね。

これらを利用したものもあります。

例えば三角関数の相互関係式です。

sin²θ＋cos²θ＝1の他に関係式がいくつかありますが、これらに値を代入していくような問題があります。また、このような問題は基本的に対象式に用います。

ここからは三角関数を学ぶ上で覚えておきたいことをお伝えしたいと思います。

まずは有名角による値です。必ず教科書に載っていますが、覚えていないとテストで問題が解けなくなってしまったり、時間がかかってしまいます。なので必ず覚えておきましょう。

0°～360°まで載せておきます。これはしっかりと覚えて試験に臨みたいですね。

しかし、この表を覚えていなくとも値は出すことが出来ます。

単位円を覚えていますか？

この単位円を使えば値を覚えていなくとも出す事ができます。

sinは分子にy座標、分母に半径で求まります。cosは分子にx座標、分母に半径で求まります。tanは分子にx座標、分母にy座標で求まります

この画像に対応するように代入し求めることもできるので、この方法もぜひ覚えておきましょう。

・定義は三角関数は半径が1の単位円の点P(x,y)を用いて、角度θにおけるx座標をcosθ、y座標をsinθ、傾きがtanθ

・sinは正弦、cosは余弦、tanは正接

・三角比の有名角の値は覚える